Problèmes différentiels

UE Electif

Responsable(s) du contenu pédagogique


Total crédits : 2
Total heures : 24 (24 TD)
Total heures travail personnel : 24


Prérequis

Notions élémentaires de mathématiques et de physique des 3 premiers semestres à l'INSA.
Ce cours s'adresse donc aux étudiants de 2ème année.


Objectif

L'essentiel des problèmes issus de la physique moderne se modélisent à l'aide d'équations différentielles. L'objectif de ce cours est, en abordant un grand nombre de problèmes issus de la physique,
- de présenter différentes méthodes originales de résolution d'équations différentielles,
- de présenter des outils d'études qualitatives lorsque la résolution est impossible.
Une bonne partie du cours sera consacrée à la théorie du chaos et se basera sur le film d'animation Chaos.


Programme

Le cours se présente comme une succession d'exemples provenant de problèmes de mécanique, conduction thermique, systèmes vibratoires, électronique, théorie des poutres, mécanique des fluides, etc. Chaque problème permet d'aborder des techniques d'études d'équations différentielles.

Certains problèmes seront en lien avec le film Chaos qu'il aura fallu regarder.

Deux ou trois séances se feront en salle informatique afin de réaliser des simulations.

Problèmes étudiés :
- déterminisme physique et théorème de Cauchy-Lipschitz
- vibrations et conduction thermique (utilisation de séries de fonctions)
- pendule simple, nutation de la toupie (utilisation d'intégrales)
- chimie (système linéaire, exponentielle de matrice)
- pendule simple, système électronique de van der Pol (linéarisation, stabilité, théorème de Poincaré-Bendixson)
- stabilité d'une poutre (phénomène de bifurcation)
- système de Lorentz en météorologie (chaos)
- mécanique des fluides, équations de Navier-Stokes (équations aux dérivées partielles)
- mouvement brownien (équation stochastiques)


Contraintes pédagogiques - Méthodes pédagogiques

Le cours se présente comme une succession d'exemples provenant de problèmes de mécanique, conduction thermique, systèmes vibratoires, électronique, théorie des poutres, mécanique des fluides, etc. Chaque problème permet d'aborder des techniques d'études d'équations différentielles.

Certains problèmes seront en lien avec le film Chaos qu'il aura fallu regarder.

Deux ou trois séances se feront en salle informatique afin de réaliser des simulations.

Problèmes étudiés :
- déterminisme physique et théorème de Cauchy-Lipschitz
- vibrations et conduction thermique (utilisation de séries de fonctions)
- pendule simple, nutation de la toupie (utilisation d'intégrales)
- chimie (système linéaire, exponentielle de matrice)
- pendule simple, système électronique de van der Pol (linéarisation, stabilité, théorème de Poincaré-Bendixson)
- stabilité d'une poutre (phénomène de bifurcation)
- système de Lorentz en météorologie (chaos)
- mécanique des fluides, équations de Navier-Stokes (équations aux dérivées partielles)
- mouvement brownien (équation stochastiques)


Contraintes pédagogiques - Moyens spécifiques

2 séances en salle informatique


Mode d'évaluation

1 ou 2 contrôles sur table et un devoir à rendre.


Bibliographie

Film d'animation Chaos (de MM. Ghys, Alvarez et Leys avec la participation de Thierry Lhermitte) : http://www.chaos-math.org/fr