STG-MATH-05-Géométrie Euclidienne et Hilbertienne

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Responsable(s) du contenu pédagogique


Total crédits : 2
Total heures : 31,5 (19,5 cours, 12 TD)
Total heures travail personnel : 30


Prérequis

Algèbre générale et linéaire
Analyse 1 et 2


Objectif

Apprentissage de notions de base de la géométrie euclidienne et hilbertienne ;
Applications à des aspects théoriques à des situations concrètes.


Programme

Introduction à l'algèbre bilinéaire
-- Définitions et propriétés élémentaires, (anti-)symétrie ;
-- Cas de la dimension finie (matrice d'une forme bilinéaire ou sesquilinéaire) ;
-- Notion d'orthogonalité et réduction des formes bilinéaires ou sesquilinéaires (réduction de Gauss, théorème d'inertie de Sylvester) ;
-- Cas des formes bilinéaires ou sesquilinéaires positives.

Espaces préhilbertiens -- Espaces de Hilbert
-- Définitions et exemples archétypaux (en dimension finie ou infinie) ;
-- Orthogonalité et orthonormalité (algorithme de Gram-Schmidt) ;
-- Projection orthogonale (théorèmes de projection sur un convexe fermé et sur un sev fermé) ;
-- Base hilbertienne.

Endomorphisme adjoint -- Endomorphisme auto-adjoint
-- Définitions et propriétés élémentaires ;
-- Endomorphismes orthogonaux et unitaires ;
-- Cas de la dimension finie (théorème spectral, retour sur la réduction des formes bilinéaires ou sesquilinéaires).

Applications
-- Méthode des moindres carrés ;
-- Séries de Fourier réelles et complexes ;
-- Polynômes orthogonaux.


Compétences attendues

Ce cours de Mathématiques est mis à profit dans nombre de projets de spécialité, en particulier :
-- TIPE (I2) ;
-- Projet Maple (Analyse 5, I3).


Contraintes pédagogiques - Moyens spécifiques

Deux séances de CM avant le début des TD


Mode d'évaluation

Devoir surveillé de 2h