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STG-MATH-07-Analyse 5

ue-sec-stg-math-07

Responsable(s) du contenu pédagogique


Total coefficients : 3
Total heures : 39 (16,5 cours, 13,5 TD, 4,5 TP, 3 projet, 1,5 e-learning)
Total heures travail personnel : 30


Prérequis

Algèbre générale et linéaire
Analyse 1 à 4
Géométrie euclidienne et hilbertienne


Objectif

Apprentissage de notions de base sur les espaces vectoriels normés (EVN) en vue de l'application au calcul différentiel ;
Applications à des aspects théoriques à des situations concrètes ;
Présentations d'éléments de synthèse sur les notions rencontrées en Algèbre et en Analyse au cours des années précédentes.


Programme

Notions et exemples de base
-- Définitions et propriétés élémentaires ;
-- Exemples archétypaux (en dimension finie ou infinie) ;
-- Équivalence des normes (définition, cas de la dmension finie) ;
-- Suites à valeurs dans un EVN (définitions, propriétés élémentaires, analogie avec les suites numériques ou de fonctions).

Introduction à la topologie métrique
-- Ouvert, fermé, intérieur, adhérence, densité (définitions, proprétés élémentaires, cas de la dimension finie) ;
-- Compacité (définitions, proprétés élémentaires, cas de la dimension finie) ;
-- Topologie sur un espace produit (analogie avec la dimension finie).

Continuité sur les EVN
-- Définitions et propriétés élémentaires (caractérisation séquentielle, opérations algébriques, cas de la dimension finie, caractérisation par les ouverts ou les fermés) ;
-- Continuité et compacité (fonction continue sur un compact, norme l'EVN des fonctions continues sur un compact) ;
-- Applications linéaires continues (définitions, caractérisations, norme subordonnée, cas de la dimension finie) ;
-- Continuité et topologie produit (applications multilinéaires continues, caractérisations, norme subordonnée, cas de la dimension finie).

Espaces de Banach -- Espaces de Hilbert
-- Complétude (définitions et propriétés élémentaires, cas de la dimension finie) ;
-- Exemples archétypaux (en dimension finie ou infinie) ;
-- Séries dans un espace de Banach (définitions et propriétés élémentaires, caractérisation des espaces de Banach) ;
-- Complétude de l'EVN des applications linéaires continues (ensemble des inveribles, exponentiel d'un endomorphisme) ;
-- Complétude et topologie produit.

Introduction au calcul différentiel
-- Différentiabilité (définitions et propriétés élémentaires, exemples de base, notion de différentiabilité successive, linéarité) ;
-- Exemples avancés (application inverse) ;
-- Différentiabilité et composition, différentiabilité et topologie produit ;
-- Différentiabilité en dimension finie (dérivées partielles, matrice jacobienne).

Applications
-- Inégalités des accroissements finies, formules de Taylor (en dimension finie) ;
-- Théorèmes du point fixe (retour sur la théorie des équations différentielles sur premier ordre, théorème de Cauchy-Lipschitz) ;
-- Étude d'extrema d'une fonction à valeurs réelles (cas de la dimension finie).


Compétences attendues

Ce cours de Mathématiques est mis à profit dans un bon nombre de projets de spécialité, en particulier :
-- Cours de Mécanique générale (I3, lanière industrie) ;
-- Projet Maple (Analyse 5, I3).


Contraintes pédagogiques - Moyens spécifiques

Deux séances de CM avant le début des TD


Mode d'évaluation

Deux devoirs surveillés de 1h30 et 2h
Projet Maple



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